كتاب التحليل العددي

أسس رياضية وتحليل الخطأ

مقدمة

درسنا (قانون الغاز المثالي) PV=NRT الذي يربط بين الضغط P ، والحجمV ، والحرارة T  وعدد المولات N في الغاز (المثالي) في مقررات الكيمياء الابتدائية. وفي هذه الصيغة، يعتمد ثابت R على نظام القياس افترض أننا أجرينا تجربتين لاختبار هذا القانون باستخدام الغاز نفسه في كل حالة. لقد كان لديك في التجربة الأولى

وعندما قسنا درجة حرارة الغاز، وجدنا أن درجة حرارته الحقيقية تساوي 15c°

والآن نعيد التجربة باستخدام قيم N و R نفسها ، ولكن بزيادة الضغط بمثلين ونقصان الحجم بمثلين أيضًا. وبما أن حاصل الضرب PV يبقى نفسه، فإن درجة الحرارة المتوقعة تبقى 17° ، ولكننا نجد أن درجة الحرارة الآن هي 19° .

ومن الواضح أن قانون الغاز المثالي مشكوك فيه ، ولكن قبل الاستنتاج بأن القانون خطأ ، يتعين في هذه الحالة معاينة البيانات لنرى ما إذا كان الخطأ يعزى إلى نتائج التجربة. وإذا كان الأمر كذلك فربما تمكنا من تحديد درجة الدقة المطلوبة في نتائج التجربة؛ لنضمن عدم وجود خطأ بهذا المقدار.

مراجعة التفاضل والتكامل

تعد مفاهيم النهاية والاتصال للدالة مواضيع رئيسة عند دراسة التفاضل والتكامل يكون للدالة f المعرفة على مجموعة الأعداد الحقيقية X نهاية قيمتها L عند النقطة x0 ، وتكتب 

إذا كان لأي عدد حقيقي 0<ε يوجد عدد حقيقي 0<℘ بحيث يتحقق انظر شكل 1-1 

افترض أن f دالة معرفة على مجموعة من الأعداد الحقيقية X و xo∈ X ، تكون الدالة f متصلة عند x0 إذا كانت

وتكون الدالة f متصلة على المجموعة X إذا كانت متصلة عند كل نقطة (عدد) في x . نستخدم الرمز (X) c ليعبر عن الدوال المتصلة جميعها علىx  وعندما تكون x فترة على خط الأعداد الحقيقية، نحذف الحاصرتين ( ).

نعبر عن مجموعة جميع الدوال المتصلة على الفترة المغلقة [a,b]  بالرمز [C [a,b.

وتعرّف نهاية متتالية الأعداد الحقيقية أو الأعداد المركبة بطريقة مماثلة 

افترض أن n=11 ∞{xn} متتالية أعداد حقيقية أو مركبة.

يكون للمتتالية n=11 ∞{xn} نهاية x ( تتقارب المتتالية إلى x إذا كان لكل 0 <ε  يوجد عدد صحيح موجب Nε 

تعني الرموز الآتية 

إذا كانت f دالة معرّفة على مجموعة من الأعداد الحقيقية X ، وكان x0 ∈ X فإن العبارات الآتية متكافئة

أ. f متصلة عند x0

f. اذا كانت n=11 ∞{xn} أي متتالية على x  ومتقاربة الى x0 فإن 

نفترض أن الدوال جميعها والتي نستخدمها في الطرائق العددية متصلة ؛ لأن هذا هو الحد الأدنى من المتطلبات للتنبؤ بسلوك الدوال. وإن الدوال غير المتصلة يمكنها القفز عن نقاط ذات أهمية مما يؤدي إلى صعوبات عند محاولة الحصول على تقريب لمسألة ما.

وإن الافتراضات الأكثر حبكة حول الدالة تؤدي عمومًا إلى حلول تقريبية أفضل. وإن الدالة ذات الرسم الناعم يسهل التنبؤ بسلوكها بصورة أفضل من تلك الدالة ذات الخشونة المتعددة، على سبيل المثال : إن شرط النعومة يعتمد على مفهوم المشتقة.

افترض أن f دالة معرفة على فترة مفتوحة تحتوي على x. نقول : إن الدالة g قابلة للاشتقاق عند x0 إذا كانت يسمى العدد (f′(x 0 مشتقة f عند x0 

وتكون الدالة f قابلة للاشتقاق على المجموعة x إذا كانت قابلة للاشتقاق عند كل نقطة في x

إن مشتقة الدالة f عند x هي ميل خط المماس لمنحنى عند النقطة xo, f(x0)) كما في الشكل (2.1).

إذا كانت الدالة f قابلة للاشتقاق عند x0 فإن f متصلة عند x0

نعبر عن مجموعة الدوال جميعها والتي يوجد لها 7 من المشتقات المتصلة على المجموعة X بالرمز (C (X وعن مجموعة الدوال التي لها مشتقات من جميع الرتب على X بالرمز (x) c إن كثيرات الحدود، والدوال النسبية، والمثلثية، والأسية واللوغارتمية تنتمي كلها إلى (x) c حيث تتألف X من الأعداد جميعها والتي تعرّف عليها هذه الدوال. وإننا نحذف الأقواس في هذه الرموز عندما تكون X فترة على خط الأعداد الحقيقية كالسابق. 

النظريات الآتية ذات أهمية رئيسة في اشتقاق طرائق تقدير الخطأ. وإن براهين هذه النظريات والنتائج جميعها والتي لم تذكر مراجعها في هذا الفصل، يمكن الرجوع إليها في أي كتاب تفاضل وتكامل رئيس.

مبرهنة رول

إذا كانت [ a,b ] f∈c قابلة للاشتقاق على (a,b)

وإذا كانت (f (a) = f (b ، فإنه يوجد عدد c في الفترة (ab)، يحقق 0 = (c). 

مبرهنة القيمة الوسيطية

إذا كانت [a,b] ∈f وكانت f قابلة للاشتقاق على (a) فإنه يوجد عدد c في الفترة (a,b) يحقق 

انظر الشكل 4-1 

مبرهنة القيمة القصوى 

إذا كانت [a,b] c∈f فإنه توجد نقطتان [a,b] ∋ c1,c2 بحيث يكون f(c2) ≤f(x) ≤f(c1) لجميع القيم [a,b] ∈x . بالإضافة إلى ذلك إذا كانت / قابلة للاشتقاق على (a,b) النقطتين C1 و C2 تقعان على طرفي الفترة [a,b] او تكون f′ مساوية للصفر.

انظر شکل (5.1)

سنستخدم النظام الحاسوبي الجبري Maple حيثما كان مناسبا كما ذكرنا في المقدمة. إن الأنظمة الحاسوبية الجبرية (CAS) مفيدة في الاشتقاق الرمزي.